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Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales

Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales


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En matemáticas, una ecuación lineal es aquella que contiene dos variables y se puede trazar en un gráfico como una línea recta. Un sistema de ecuaciones lineales es un grupo de dos o más ecuaciones lineales que contienen el mismo conjunto de variables. Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden usar para modelar problemas del mundo real. Se pueden resolver utilizando varios métodos diferentes:

  1. Graficando
  2. Sustitución
  3. Eliminación por adición
  4. Eliminación por sustracción
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Graficando

Eric Raptosh Photography / Blend Images / Getty Images

La representación gráfica es una de las formas más simples de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Todo lo que tiene que hacer es graficar cada ecuación como una línea y encontrar los puntos donde se cruzan las líneas.

Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales que contienen las variables X yy:


y = X + 3
y = -1X - 3

Estas ecuaciones ya están escritas en forma de pendiente-intersección, lo que las hace fáciles de graficar. Si las ecuaciones no se escribieron en forma de pendiente-intersección, primero deberá simplificarlas. Una vez hecho esto, resolviendo X y y requiere solo unos simples pasos:

1. Representa gráficamente ambas ecuaciones.

2. Encuentra el punto donde se cruzan las ecuaciones. En este caso, la respuesta es (-3, 0).

3. Verifique que su respuesta sea correcta al ingresar los valores X = -3 y y = 0 en las ecuaciones originales.


y = X + 3
(0) = (-3) + 3
0 = 0

y = -1X - 3
0 = -1(-3) - 3
0 = 3 - 3
0 = 0
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Sustitución

Otra forma de resolver un sistema de ecuaciones es mediante sustitución. Con este método, esencialmente está simplificando una ecuación e incorporándola a la otra, lo que le permite eliminar una de las variables desconocidas.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:


3X + y = 6
X = 18 -3y

En la segunda ecuación, X ya está aislado Si ese no fuera el caso, primero tendríamos que simplificar la ecuación para aislar X. Habiendo aislado X en la segunda ecuación, podemos reemplazar el X en la primera ecuación con el valor equivalente de la segunda ecuación:(18 - 3 años).

1. Reemplazar X en la primera ecuación con el valor dado de X en la segunda ecuación


3 (18 - 3 años) + y = 6

2. Simplifica cada lado de la ecuación.


54 - 9y + y = 6
54 - 8y = 6

3. Resuelve la ecuación para y.

54 - 8y - 54 = 6 - 54
-8y = -48
-8y/-8 = -48/-8
y = 6

4. Enchufa y = 6 y resolver para X.


X = 18 -3y
X = 18 -3(6)
X = 18 - 18
X = 0

5. Verifique que (0,6) sea la solución.


X = 18 -3y
0 = 18 - 3(6)
0 = 18 -18
0 = 0
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Eliminación por adición

Si las ecuaciones lineales que se le dan están escritas con las variables en un lado y una constante en el otro, la forma más fácil de resolver el sistema es mediante la eliminación.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:


X + y = 180
3X + 2y = 414

1. Primero, escriba las ecuaciones una al lado de la otra para que pueda comparar fácilmente los coeficientes con cada variable.

2. Luego, multiplique la primera ecuación por -3.


-3 (x + y = 180)

3. ¿Por qué multiplicamos por -3? Agrega la primera ecuación a la segunda para averiguarlo.


-3x + -3y = -540
+ 3x + 2y = 414
0 + -1y = -126

Ahora hemos eliminado la variable X.

4. Resolver para la variabley:


y = 126

5. Enchufa y = 126 para encontrar X.


X + y = 180
X + 126 = 180
X = 54

6. Verifique que (54, 126) sea la respuesta correcta.


3X + 2y = 414
3(54) + 2(126) = 414
414 = 414
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Eliminación por sustracción

Otra forma de resolver mediante eliminación es restar, en lugar de sumar, las ecuaciones lineales dadas.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:


y - 12X = 3
y - 5X = -4

1. En lugar de sumar las ecuaciones, podemos restarlas para eliminar y.


y - 12X = 3
- (y - 5X = -4)
0 - 7X = 7

2. Resolver para X.


-7X = 7
X = -1

3. Enchufa X = -1 para resolver y.


y - 12X = 3
y - 12(-1) = 3
y + 12 = 3
y = -9

4. Verifique que (-1, -9) sea la solución correcta.


(-9) - 5(-1) = -4
-9 + 5 = -4
-4 = -4



Comentarios:

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